過P作PQ‖MN交C1D1于Q點，則P,M,N、Q四點共面，
Q點就是過P,M,N的平面與棱C1D1的交點
因為A1P=1，所以D1P=PQ=3，則PQ=3√2
Q點就是過P,M,N的平面與棱C1D1的交點
因為A1P=1，所以D1P=PQ=3，則PQ=3√2
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哎呀這題看著像是立體幾何的經典題型，但我已經很久沒碰這種題了，有點忘了怎么做。不過從已知條件來看，首先我們可以建立一個三維坐標系，把整個正方體放在里面方便分析。比如說把點A設為原點(0,0,0)，然后各個頂點就可以表示出來了。M是AB中點，所以坐標就是(2,0,0)；N是BC的中點，那坐標就是(4,2,0)；而P在A1D1上，A1是(0,0,4)，D1是(0,4,4)，因為A1P=1，所以P的坐標應該是(0,1,4)。有了三個點的坐標，我們就能寫出這個平面的方程，然后再去看這個平面與其它棱的交點，這樣就能回答問題了
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這道題看起來有點難度，不過我們可以一步步來分析。首先題目說的是在一個棱長為4的正方體中，M和N分別是AB和BC的中點，也就是說它們的位置應該是在各自棱的中間位置，也就是離A或B、B或C的距離都是2的地方。然后P是在A1D1上，并且A1P=1，所以P應該是靠近A1的那個點，在A1D1這條棱上離A1有1個單位長度。接下來是過這三個點P、M、N做一個平面，這個平面會和某些棱相交，題目可能是問交線或者是交點的位置之類的。我覺得可以考慮用向量法或者坐標系來找平面方程，再去找它與其他棱的交點
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先因為abcd---a1b1c1d1為正方體
則
dc=dd1，因為很久沒算幾何的題了，∠d1dp=∠dcc1：a1p⊥md
綜上可得a1p⊥平面mnd
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呃，∠dpd1=∠epd
所以∠dep=∠d1dp=90°
所以dn⊥d1p
又因為a1d1⊥平面cc1d1d
所以a1d1⊥dn
即dn⊥a1p
同理可證得，dp=cn
所以
△d1dp≌△dnc
∠ndc=∠dd1p..
不知道有沒有問題呢.
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