正確答案： C
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我覺(jué)得這題選C吧，環(huán)R和環(huán)S同構(gòu)，說(shuō)明它們的結(jié)構(gòu)完全一樣，運(yùn)算規(guī)則也都對(duì)應(yīng)上了。如果R是個(gè)域，那它里面每個(gè)非零元都有逆元，乘法也滿足交換律，這些性質(zhì)在同構(gòu)映射下肯定會(huì)被保留下來(lái)。因?yàn)橥瑯?gòu)就是一種保持代數(shù)結(jié)構(gòu)的一一對(duì)應(yīng)，所以S也應(yīng)該滿足域的所有條件，不可能說(shuō)結(jié)構(gòu)一樣但一個(gè)能叫域另一個(gè)不行，所以S一定是域
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從抽象代數(shù)的角度看，同構(gòu)的兩個(gè)環(huán)在代數(shù)意義上是同一個(gè)東西，只是元素名字不同而已。如果R是域，那S通過(guò)同構(gòu)關(guān)系自然繼承所有域的特性。比如R中任意兩個(gè)非零元相乘不為零，S中也一樣；R中每個(gè)非零元都有乘法逆元，S中的對(duì)應(yīng)元也有。這種結(jié)構(gòu)性質(zhì)不會(huì)因?yàn)閾Q了個(gè)名字就消失，因此S必定也是域，選項(xiàng)C才是正確答案
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這題其實(shí)考的是同構(gòu)的本質(zhì)。很多人覺(jué)得同構(gòu)只是長(zhǎng)得像，但實(shí)際上它是結(jié)構(gòu)上的完全等價(jià)。如果R是域，說(shuō)明它滿足域的全部公理，而環(huán)同構(gòu)保證了加法和乘法的運(yùn)算規(guī)律在S中完全再現(xiàn)。也就是說(shuō)，S也會(huì)有乘法單位元，每個(gè)非零元都可逆，乘法還滿足交換性。這些都不是大概率事件，而是必然結(jié)果，所以S不可能不是域，答案應(yīng)該是C沒(méi)錯(cuò)
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我一開始也糾結(jié)是選C還是D，后來(lái)想想同構(gòu)不是簡(jiǎn)單的相似，而是代數(shù)結(jié)構(gòu)的完全復(fù)制。R是域意味著它有單位元，乘法可逆，沒(méi)有零因子等等，而同構(gòu)映射會(huì)把這些性質(zhì)原封不動(dòng)地搬到S上。比如R里的a≠0有逆元a??，那么S里對(duì)應(yīng)的元素f(a)也一定有f(a??)作為它的逆元。所以說(shuō)S不可能漏掉這些性質(zhì)，答案只能是C，S一定是域
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